GARCH e EWMA 21 de maio de 2010 por David Harper, CFA, FRM, CIPM AIM: Comparar, contrastar e calcular abordagens paramétricas e não paramétricas para estimar a volatilidade condicional 8230 Incluindo: APROXIMAÇÃO GARCH Incluindo: LISO EXPONENCIAL (EWMA) Suavização exponencial (paramétrico condicional) Os métodos modernos dão mais peso às informações recentes. Tanto o EWMA como o GARCH colocam mais peso nas informações recentes. Além disso, como EWMA é um caso especial de GARCH, tanto EWMA e GARCH empregar suavização exponencial. GARCH (p, q) e em particular GARCH (1, 1) GARCH (p, q) é um modelo heteroscedástico condutor geral autorregressivo. Principais aspectos incluem: Autoregressive (AR). A variância de amanhã (ou volatilidade) é uma função regredida da variância de hoje8217s que regride sobre si mesma Condicional (C). A variância de amanhã depende da variância mais recente. Uma variância incondicional não dependeria da variância Heteroskedastic de hoje (H). Variâncias não são constantes, elas fluem ao longo do tempo, GARCH regride em termos históricos ou 8220lagged8221. Os termos retardados são variância ou retornos quadrados. O modelo genérico GARCH (p, q) regressa em (p) retornos ao quadrado e (q) variâncias. Por conseguinte, GARCH (1, 1) 8220lags 8221 ou regressa no último período 8217s ao quadrado retorno (ou seja, apenas 1 retorno) e último período 8217s variância (ou seja, apenas 1 variância). GARCH (1, 1) dado pela seguinte equação. A mesma fórmula de GARCH (1, 1) pode ser dada com parâmetros gregos: Hull escreve a mesma equação de GARCH como: O primeiro termo (gVL) é importante porque VL é a variância média de longo prazo. Portanto, (gVL) é um produto: é a variância média ponderada de longo prazo. O modelo GARCH (1, 1) resolve a variância condicional em função de três variáveis (variância anterior, retorno anterior2 e variância de longo prazo): Persistência é uma característica incorporada no modelo GARCH. Dica: Nas fórmulas acima, a persistência é (b c) ou (alfa-1 beta). Persistência refere-se a quão rapidamente (ou lentamente) a variação reverte ou 8220decays8221 em direção a sua média de longo prazo. A alta persistência equivale à desaceleração lenta e a desaceleração da regressão em direção à média8221. A baixa persistência equivale à rápida decomposição e rápida reversão à média. 8221 A persistência de 1,0 não implica nenhuma reversão média. Uma persistência de menos de 1,0 implica uma reversão para a média, 8221 onde uma menor persistência implica maior reversão para a média. Dica: Como acima, a soma dos pesos atribuídos à variância defasada e ao retângulo quadrado é a persistência (persistência bc). Uma alta persistência (maior que zero, mas inferior a um) implica uma reversão lenta para a média. Porém, se os pesos atribuídos à variância retardada e ao retardo ao quadrado forem maiores do que um, o modelo é não-estacionário. Se (bc) é maior que 1 (se bc gt 1) o modelo é não-estacionário e, de acordo com Hull, instável. Neste caso, é preferida a EWMA. Linda Allen diz sobre GARCH (1, 1): GARCH é tanto 8220compact8221 (isto é, relativamente simples) e notavelmente preciso. Os modelos GARCH predominam na pesquisa acadêmica. Muitas variações do modelo GARCH foram tentadas, mas poucas têm melhorado no original. A desvantagem do modelo GARCH é sua não-linearidade sic Por exemplo: Resolva para a variância de longo prazo em GARCH (1,1) Considere a equação de GARCH (1, 1) abaixo: Assumamos que: o parâmetro alfa 0.2, o parâmetro beta 0.7, E Observe que omega é 0,2, mas don8217t erro omega (0,2) para a variância de longo prazo Omega é o produto da gama ea variância de longo prazo. Portanto, se alfa beta 0,9, então gamma deve ser 0,1. Dado que o ômega é 0,2, sabemos que a variância de longo prazo deve ser 2,0 (0,2 184 0,1 2,0). GARCH (1,1): Mero diferença de notação entre Hull e Allen EWMA é um caso especial de GARCH (1,1) e GARCH (1,1) é um caso generalizado de EWMA. A diferença saliente é que GARCH inclui o termo adicional para a reversão média e EWMA não tem uma reversão média. Aqui é como podemos obter de GARCH (1,1) para EWMA: Então deixamos um 0 e (bc) 1, de tal forma que a equação acima simplifica a: Isto é agora equivalente à fórmula para exponencialmente ponderada média móvel (EWMA): Em EWMA, o parâmetro lambda agora determina o 8220decay: 8221 um lambda que é próximo de um (lambda alto) exibe decadência lenta. O RiskMetricsTM Approach RiskMetrics é uma forma marcada da abordagem de média móvel exponencialmente ponderada (EWMA): O lambda ótimo (teórico) varia de acordo com a classe de ativos, mas o parâmetro ótimo global usado pelo RiskMetrics foi 0,94. Na prática, o RiskMetrics usa apenas um fator de decadência para todas as séries: 183 0,94 para dados diários 183 0,97 para dados mensais (mês definido como 25 dias de negociação) Tecnicamente, os modelos diário e mensal são inconsistentes. No entanto, eles são fáceis de usar, eles aproximam o comportamento dos dados reais muito bem, e eles são robustos para misspecification. Nota: GARCH (1, 1), EWMA e RiskMetrics são paramétricos e recursivos. Sumário Dicas: GARCH (1, 1) é generalizada RiskMetrics e, inversamente, RiskMetrics é, por outro lado, uma das principais vantagens e desvantagens da MA (ie STDEV) versus GARCH Resumo Gráfico dos métodos paramétricos que atribuem mais peso aos retornos recentes (GARCH amp EWMA) (1, 1) é dado por: Os três parâmetros são pesos e, portanto, deve somar a um: Dica: Tenha cuidado com o primeiro termo no GARCH (1,1) onde a 0 e (bc) Equação de GARCH (1, 1): ômega () gama () (variância média de longo prazo). Se você for solicitado para a variância, você pode precisar dividir o peso, a fim de calcular a variância média. Determine quando e se um modelo GARCH ou EWMA deve ser usado na estimativa de volatilidade Na prática, as taxas de variância tendem a ser a média reverter, portanto, o modelo GARCH (1, 1) é teoricamente superior (8220 mais atraente do que 8221) para o modelo EWMA. Lembre-se, é a grande diferença: GARCH adiciona o parâmetro que pondera a média de longo prazo e, portanto, incorpora reversão média. Dica: GARCH (1, 1) é preferível a menos que o primeiro parâmetro seja negativo (o que está implícito se alfa beta gt 1). Neste caso, GARCH (1,1) é instável e EWMA é preferido. Explique como as estimativas GARCH podem fornecer previsões mais precisas. A média móvel calcula a variância com base numa janela de observação, por ex. Nos dez dias anteriores, nos 100 dias anteriores. Existem dois problemas com a média móvel (MA): Característica fantasma: os choques de volatilidade (aumentos repentinos) são abruptamente incorporados na métrica MA e, quando a janela de arrasto passa, eles são abruptamente descartados do cálculo. Devido a isso a métrica MA mudará em relação ao comprimento da janela escolhida Informações de tendência não são incorporadas As estimativas de GARCH melhoram essas fraquezas de duas maneiras: As observações mais recentes são atribuídas pesos maiores. Isso supera a fantasma porque um choque de volatilidade afetará imediatamente a estimativa, mas sua influência irá desaparecer gradualmente à medida que o tempo passa. Um termo é adicionado para incorporar a reversão à média Explique como a persistência está relacionada à reversão à média. Dada a equação de GARCH (1, 1): A persistência é dada por: GARCH (1, 1) é instável se a persistência gt 1. A persistência de 1,0 não indica reversão média. Uma baixa persistência (por exemplo, 0,6) indica desintegração rápida e alta reversão para a média. Dica: GARCH (1, 1) tem três pesos atribuídos a três fatores. Persistência é a soma dos pesos atribuídos à variância retardada e ao retardo ao quadrado retardado. O outro peso é atribuído à variância de longo prazo. Portanto, se P (persistência) for alta, então G (reversão de média) é baixa: a série persistente não é fortemente média reverting exibe 8220 baixa decaimento 8221 para a significar. Se P é baixo, então G deve ser alto: a série impersistente significa fortemente reverter exibe 8220 desvanecimento acelerado 8221 em relação à média. A variância média, incondicional no modelo GARCH (1, 1) é dada por: Explique como a EWMA sistematicamente descontos dados mais antigos, e identificar o RiskMetrics174 diária e mensal decadência fatores. A média móvel ponderada exponencialmente (EWMA) é dada por: A fórmula acima é uma simplificação recursiva da série EWMA 8220true8221 que é dada por: Na série EWMA, cada peso atribuído ao quadrado retorna é uma proporção constante do peso precedente. Especificamente, lambda (l) é a razão entre pesos vizinhos. Desta forma, os dados mais antigos são sistematicamente descontados. O desconto sistemático pode ser gradual (lento) ou abrupto, dependendo de lambda. Se lambda for elevado (por exemplo, 0,99), então o desconto é muito gradual. Se lambda for baixo (por exemplo 0,7), o desconto é mais abrupto. Os fatores de deterioração do RiskMetrics TM: 0,94 para dados diários 0,97 para dados mensais (mês definido como 25 dias de negociação) Explique por que as correlações de previsão podem ser mais importantes do que as volatilidades de previsão. Ao mensurar o risco de carteira, as correlações podem ser mais importantes do que a volatilidade / variância individual do instrumento. Portanto, no que diz respeito ao risco da carteira, uma previsão de correlação pode ser mais importante do que as previsões individuais de volatilidade. Use GARCH (1, 1) para prever a volatilidade A taxa de variância futura esperada, em (t) períodos, é dada por: Por exemplo, suponha que uma estimativa de volatilidade atual (período n) é dada pelo seguinte GARCH (1, 1 ): Neste exemplo, alfa é o peso (0,1) atribuído ao retorno quadrado anterior (o retorno anterior era 4), beta é o peso (0,7) atribuído à variância anterior (0,0016). Qual é a volatilidade futura esperada, em dez dias (n 10) Primeiro, resolva a variância de longo prazo. Não é 0,00008 este termo é o produto da variância e seu peso. Como o peso deve ser 0,2 (1 - 0,1 -0,7), a variância de longo prazo 0,0004. Em segundo lugar, precisamos da variância atual (período n). Isso é quase dado acima: Agora podemos aplicar a fórmula para resolver a taxa de variância esperada futuro: Esta é a taxa de variância esperada, então a volatilidade esperada é de aproximadamente 2,24. Observe como isso funciona: a volatilidade atual é de cerca de 3,69 e a volatilidade de longo prazo é 2. A projeção de 10 dias para a frente 8220fades8221 a taxa atual mais próxima da taxa de longo prazo. Previsão de Volatilidade Não-paramétrica A documentação é a média incondicional do processo, e x03C8 (L) é um polinômio racional, de grau infinito, lag (1 x03C8 1 L x03C8 2 L 2 x 2026). Nota: A propriedade Constant de um objeto modelo arima corresponde a c. E não a média incondicional 956. Por decomposição de Wolds 1. A equação 5-12 corresponde a um processo estocástico estacionário desde que os coeficientes x03C8 i sejam absolutamente somaveis. Este é o caso quando o polinômio AR, x03D5 (L). É estável. O que significa que todas as suas raízes estão fora do círculo unitário. Além disso, o processo é causal desde que o polinômio MA é invertido. O que significa que todas as suas raízes estão fora do círculo unitário. Econometrics Toolbox reforça a estabilidade e a invertibilidade dos processos ARMA. Quando você especifica um modelo ARMA usando arima. Você obtém um erro se você inserir coeficientes que não correspondem a um polinômio AR estável ou polinômio MA reversível. Similarmente, a estimativa impõe restrições de estacionaridade e de invertibilidade durante a estimativa. Referências 1 Wold, H. Um estudo na análise de séries estacionárias do tempo. Uppsala, Suécia: Almqvist amp Wiksell, 1938. Select Your CountryDocumentation é a média incondicional do processo, e x03C8 (L) é um polinômio racional de operador de intervalo infinito, (1 x03C8 1 L x03C8 2 L 2 x 2026). Nota: A propriedade Constant de um objeto modelo arima corresponde a c. E não a média incondicional 956. Por decomposição de Wolds 1. A equação 5-12 corresponde a um processo estocástico estacionário desde que os coeficientes x03C8 i sejam absolutamente somaveis. Este é o caso quando o polinômio AR, x03D5 (L). É estável. O que significa que todas as suas raízes estão fora do círculo unitário. Além disso, o processo é causal desde que o polinômio MA é invertido. O que significa que todas as suas raízes estão fora do círculo unitário. Econometrics Toolbox reforça a estabilidade e a invertibilidade dos processos ARMA. Quando você especifica um modelo ARMA usando arima. Você obtém um erro se você inserir coeficientes que não correspondem a um polinômio AR estável ou polinômio MA reversível. Similarmente, a estimativa impõe restrições de estacionaridade e de invertibilidade durante a estimativa. Referências 1 Wold, H. Um estudo na análise de séries estacionárias do tempo. Uppsala, Suécia: Almqvist amp Wiksell, 1938. Selecione o país
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